运筹学-LP线性规划建模Lindo练习

第一、Lindo 求解练习:

1、PPT DMD1-p14例1

        例1：某工厂在生产过程中需要使用浓度为80%的硫酸100 吨，而市面上只有浓度为30%，45%，73%，85%，92%的硫酸出售， 每吨的价格分别为400、700、1400、1900和2500元。 问：采用怎样的购买方案，才能使所需总费用最小？

解答：

（1）、建模

            设30%~92%的采购量为Xi(i=1,2,3,4,5)

目标函数：

min(z)=400X1+700X2+1400X3+1900X4+2500X5

约束条件：

X1+X2+X3+X4+X5=100;

30%X1+45%X2+73%X3+85%X4+92%X5=80%*100;

Xi>=0,(i=1,2,3,4,5)

（2）、Lindo求解

  (3)、答案解析

          X1=0，X2=0, X3=41.666668，X4=58.333332，X5=0;

          MIN(Z)=169166.7

2、p20例5： 一家昼夜服务的饭店，24小时中需要的服务员数如下表所示。每个服务员每天连续工作8小时，且在时段开始时上班。问：最少需要多少名服务员？试建立该问题的线性规划模型。

解答：

（1）、建模

变量设置如下：

目标函数：

min(z)=X1+X2+X3+X4+X5+X6

约束条件：

X1+X6>=4

X1+X2>=8

X2+X3>=10

X3+X4>=7

X4+X5>=12

X5+X6>=4

Xi>=0,(i=1,2,3,4,5,6)

（2）、求解

（3）、答案

            X1=0;X2=8;X3=2;X4=12;X5=0;X6=4;

           MIN(Z)=26

第二、EXCEL 求解练习:

PPT DMD1-p15例2

为了方便理解我把题目重新解释了一遍：

假设投资者有如下四个投资的机会.

(A)在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息.

(B)在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元.两年后取息，可重新将本息投入生息.这种投资最多不得超过2万元.（）

(C)在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息0.6元，这种投资最多不得超过1.5万元.

(D)在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元可获利息0.4元，这种投资不得超过1万元.假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有3万元的资金可供投资，

投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益.

理解分歧点

1、上一年投资到期的钱需要给到下一期作为启动资金，例如X11连本带利需要给X21和X23进行投资，X21+X12连本带利作为第三年启动资金给X31+X34注入资金

2、第三年底获得最高的收益有2种表达方式：第一是连本带利最大化，第二、利息最大化，本质没啥区别。

便于理解我做了一张题目的对应年限投资资金表格

解答

   基于对题目的理解我认为可以用2个方式建模求解，第一种是利息最大化，第二种是本金+利息最大化

（1）、利息最大建模

设Xij为第i（i=1,2,3）年年初j（j=1,2,3,4）次投资金额

甲(A)方案第三年底获利:0.2（X₁₁+X₂₁+X₃₁）

乙(B)方案第三年底获利：0.5X₁₂

丙(C)方案第三年底获利：0.6X₂₃

丁(D)方案第三年底获利：0.4X₃₄

利息最大目标函数：

max(z)=0.2（X₁₁+X₂₁+X₃₁）+0.5X₁₂+0.6X₂₃+0.4X₃₄

约束条件：

X11+X12<=30000 （启动资金只有3万）

X21+X23<=1.2X11 (第二年的启动资金只有X11一个资金来源) 

X21+X23<=30000-X12+0.2X11

X31+X34<=1.2X21+1.5X12

X31+X34<=30000-X23+0.2(X11+X21)+0.5X12

X12<=20000  

X23<=15000

X34<=10000

Xij>=0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)

规范后的约束条件：

X₁₁+X₁₂<=30000 

X21+X23-1.2X11<=0

X21+X23<=30000-X12+0.2X11

X31+X34-1.2X21-1.5X12<=0

X31+X34<=30000-X23+0.2(X11+X21)+0.5X12

X12<=20000  

X23<=15000

X34<=10000

Xij>=0(i=1,2,3;j=1,2,3,4)

（2）、lindo求解

（3）、excel求解

（4）、最优解

       max(z)= 27500.00

       X11 =12500.00

       X21 =0.00

       X31 =16250.00

       X12 =17500.00

       X23 =15000.00

       X34 =10000.00

p17例3:要制作100套钢筋架子，每套含2.9米、2.1米、1.5米的钢筋各一根。已知原料长7.4米，问：如何下料，使用料最省？

解答：

（1）、建模

设方案1-5的使用量分别为Xi(i=1,2,3,4,5),则

建模方案1：浪费最少

目标函数：

min(z)=0X1+0.1X2+0.2X3+0.3X4+0.8X5

约束条件：

X1+2X2+X4>=100

2X3+2X4+X5>=100

3X1+X2+2X3+3X5>=100

Xi>=0(i=1,2,3,4,5)

建模方案2：总钢材数量最小

目标函数：

min(z)=X1+X2+X3+X4+X5

约束条件：

X1+2X2+X4>=100

2X3+2X4+X5>=100

3X1+X2+2X3+3X5>=100

Xi>=0(i=1,2,3,4,5)

（2）、求解

方案1：浪费最小化

lindo求解

excel求解:

最优解：

方案2：合理利用最大化

lindo求解

excel求解

（3）、最优解

第三、参考答案

1、https://www.onekbit.com/dwz/232